El tablero de ajedrez y los granos de trigo

Introducción



Después de unos cuantos artículos pastel en la página web creo que ya era hora de tratar algún tema un poco más serio y qué mejor que hacerlo con una historia curiosa como la que voy a contar ahora.


La historia tiene algo de matemáticas (como casi toda historia que merezca la pena contar), pero bueno seguro que todo el mundo, por mucha tirria que le tenga a los números lo va a poder leer fácilmente, por lo menos eso es lo que intentaré.

La historia

El juego del ajedrez que conocemos hoy día, tiene su origen en un juego hindú denominado Chaturanga, que posiblemente se fusionó con otro juego griego denominado Petteia, ambos juegos existen desde la antigüedad, las primeras apariciones del juego actual son de los alrededores del año 500 de nuestra era, y llegó a Europa a través de los árabes.

Resulta que el rey indio Iadava acababa de perder a su hijo en una batalla y un ciudadano (Sessa) que se enteró quiso alegrarlo enseñándole el juego del ajedrez. Parece ser que el rey quedó fascinado con el juego y era tan grande su agradecimiento que ofreció a Sessa un "cheque en blanco" para que él pidiese lo que quisiera.

Sessa, que se ve que no era muy tonto, le dijo que quería un regalo relacionado de alguna manera con el juego del ajedrez, por lo cual propuso al rey que le entregase cierta cantidad de trigo: "Majestad, me conformo con que me des un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta y así sucesivamente, multiplicando cada vez por dos, hasta llegar al último casillero".

Parece ser que el rey se ofendió por haber pedido una recompensa tan modesta cuando podría haber solicitado algo más importante. Sin embargo accedió a su petición y mandó que le fuese entregada a Sessa la cantidad de trigo que solicitaba. Los matemáticos de la corte tardaron varios días en calcular cuanto trigo habría que entregar a Sessa hasta que finalmente acudieron al rey para decirle que su petición era imposible de satisfacer, ya que ni con todo el trigo del mundo habría bastante para pagarle. ¿Quieres saber por qué? Sigue leyendo...

Explicación




Tablero de ajedrez y saco de trigo

Como todos sabemos el ajedrez se juega sobre un tablero de 8 filas y 8 columnas, con lo cual el tablero tiene exactamente 64 casillas donde colocar las piezas.

Si a cada una de estas casillas les escribimos un número (del 1 al 64), la siguiente tabla muestra cuando granos de trigo corresponderían a cada casilla según la petición de Sessa:


Casilla Nº
Granos de trigo que le corresponden
1
1 (Sessa quería un grano en la casilla 1)
2
2 (A partir de ahí quería en cada casilla el doble de lo que recibía en la anterior
3
4
4
8
5
16
6
32
7
64
8
128
9
256
10
512
11
1.024
12
2.048
13
4.096
14
8.192
15
16.384
16
32.768
17
65.536
18
131.072
19
262.144
20
524.288
21
1.048.576
22
2.097.152
23
4.194.304
24
8.388.608
25
16.777.216
26
33.554.432
27
67.108.864
28
134.217.728
29
268.435.456
30
536.870.912
31
1.073.741.824
32
2.147.483.648
33
4.294.967.296
34
8.589.934.592
35
17.179.869.184
36
34.359.738.368
37
68.719.476.736
38
137.438.953.472
39
274.877.906.944
40
549.755.813.888
41
1.099.511.627.776
42
2.199.023.255.552
43
4.398.046.511.104
44
8.796.093.022.208
45
17.592.186.044.416
46
35.184.372.088.832
47
70.368.744.177.664
48
140.737.488.355.328
49
281.474.976.710.656
50
562.949.953.421.312
51
1.125.899.906.842.620
52
2.251.799.813.685.250
53
4.503.599.627.370.500
54
9.007.199.254.740.990
55
18.014.398.509.482.000
56
36.028.797.018.964.000
57
72.057.594.037.927.900
58
144.115.188.075.856.000
59
288.230.376.151.712.000
60
576.460.752.303.423.000
61
1.152.921.504.606.850.000
62
2.305.843.009.213.690.000
63
4.611.686.018.427.390.000
64
9.223.372.036.854.780.000
Total
18.446.744.073.709.600.000

Podemos ver todo esto gráficamente en la siguiente imagen donde vemos el número de granos que se solicitan en cada casilla (hacer click para ampliar):

Tabla Ajedrez y granos de arroz

¿Realmente es imposible de satisfacer su petición?

* Parece ser que la producción de trigo anual en Argentina es unos 10.000.000 de toneladas al año. Si cada grano de trigo pesa más o menos un miligramo, harían falta 4000 años de cosechas en Argentina para darle a Sessa los 18.446.744.073.709.600.000 granos que pedía (como hemos calculado en la tabla de antes).
* Si tal cantidad de trigo pudiese reunirse (lo cual no se conseguiría ni con toda la producción mundial durante 100 años consecutivos), y fuésemos capaces de contar un grano de trigo cada segundo para entregárselos a Sessa necesitaríamos la siguiente cantidad de tiempo.

18.446.744.073.709.600.000 segundos
5.124.095.576.030.430 horas
213.503.982.334.601 días
584.942.417.355 años
5.849.424.174 siglos

Osea que el pobre Sessa estaría más tieso que la mojama para cuando hubiese que entregarle su recompensa. Lo que no cuenta la historia es si el rey lo ajustició posteriormente por graciosete...